初中數(shù)學：100條經(jīng)典公式和考點匯總！比上萬補習班有用多了！

很多學生和家長都困惑，如何提升數(shù)學成績?？梢哉f，想要學好數(shù)學，多做題目是難免的，因為要熟悉掌握各種題型的解題思路。

剛開始要從基礎題入手，以課本上的習題為準，反復練習打好基礎，再找一些課外的習題，以幫助開拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規(guī)律。

因此，數(shù)學中重要的當然是公式了！其實，中考數(shù)學題和之前同學們的期末考試、單元檢測大不一樣！平時的練習，你只需要學習本單元掌握幾個公式即可！

然而初三包含更多的是整整三年的內(nèi)容，學科繁雜，任務非常重！難初中是義務教育，要讓大部分同學通過，難度不算大 ！很多初三的同學沒有過這么正式而重要的考試經(jīng)驗，常常會出現(xiàn)考前和緊張，其實，這是因為知識不夠牢固！

做的教育，讓所有學生都學會學習！

初一數(shù)學知識相對簡單，只要認真聽課、認真完成作業(yè)就能考80-90分以上，但事實上很多學生的考試成績總不能如家長所愿，望子成龍心切、對初二的后續(xù)學習成績的擔心相當普遍，這里結合平時輔導學生的情況分為三類進行分析，并給家長提出建議：

　　1,學動，成績型——這些學生是人稱“讓家長省心的孩子”，他們學習欲望強烈、主動性強，基礎扎實、學習習慣好、成績優(yōu)異，這個群體的家長對拔高有很高的期望，擔心初二會不會出現(xiàn)成績分化，老想讓孩子成績保持在110分以上。一定要在筆記中把它詳細整理，并做上記號，以便總復習的時候，注意復習這部分內(nèi)容。這種情況一般可以找一對一老師輔導，進行一些專題輔導(未必和課程同步)，對知識進行一些拓寬，意在提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，使之在后兩年的學習中真正游刃有余，保持排頭。

　　2,學習努力，成績一般型——比較聽話，能完成作業(yè)，但成績在85分上下，在各科中數(shù)學屬弱科，輔導效果不明顯。還有一個大背景，廣東的數(shù)學在全國來說好像是不行的，英語比較好一點。這些學生首先缺乏對數(shù)學學習的興趣，聽課比較被動，其次是滿足于完成作業(yè)，練習的數(shù)量積累不足、強度不夠，成績平平，家長們十分著急。這一類學生有必要采取措施，推他一把，因為他們具備比較基本的知識，也很有改變數(shù)學弱科的愿望，在學習上表現(xiàn)為某些模塊知識缺漏(如值、方程應用題)、某些題型不適應(如找數(shù)字規(guī)律、方程應用題中的打折、行程問題)、知識運用不靈活等表現(xiàn)。

　　對他們，應該抓住初一科目較少、知識較簡單、孩子有改善弱科欲望的大好時機，找老師輔導，可分兩步：

　　(1)一對一階段——對進入初中以來的知識缺漏部分集中時間、快速補習，一般經(jīng)驗豐富的老師用8-10個小時，便能使學生獲得一個較完整的知識基礎，足夠后續(xù)學習之用;

　　(2)小班輔導階段——參加由學習水平差不多的學生組成的同步輔導小班，解決已學內(nèi)容中的疑難問題，或提前一點講授下一章節(jié)的重、難點內(nèi)容，減少一些課堂的障礙。這種情況一般可以找一對一老師輔導，進行一些專題輔導(未必和課程同步)，對知識進行一些拓寬，意在提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，使之在后兩年的學習中真正游刃有余，保持排頭。這個安排的效果會是很好的，我在春節(jié)前后的輔導中成功的實踐、體驗了這個過程，有幾個學生開學測試考到了110左右，提升近30分，學好數(shù)學的欲望大增，改變?nèi)蹩瞥醪綄崿F(xiàn)。

　　3.學習欲望低下，成績較差——家長苦口婆心、督促威逼、花錢輔導，結果十分頭疼，這些孩子的整體教育處于比較嚴峻的狀態(tài)，他們頭腦聰明，但有些貪玩調(diào)皮，有些沉溺電腦游戲，甚至有些“痞”，課堂不太認真聽講，作業(yè)應付，有傾向。正確的補課可以讓基礎打牢高中數(shù)學與初中數(shù)學相比那就是高了不止一個檔次了，有的學生很快就感覺學習的吃力，所以不用再質疑高中數(shù)學課后補課有必要嗎。對這些孩子，家長們要很好的反思家庭教育的缺失之處，鼓勵與嚴格要求并舉，抓住他們年齡尚小、可塑性大、知識補差易的時機，抓緊強化輔導——盡量在輔導老師的管理下，定時完成學校各科作業(yè)，適當增加一些較基礎的強化練習，進行一種持續(xù)的、穩(wěn)定的知識積累，期待成績有所提升、學習興趣開始提高、自制力有所增強，再改為每周一次的輔導。

　　對這部分孩子，家長不能著急，至少，在周末的兩個小時能解決孩子的學習動力問題是不現(xiàn)實的，他們需要有一個持續(xù)的“監(jiān)管”，我曾對好幾個家長細談這個建議，我昵稱他們?yōu)椤靶☆B童”，現(xiàn)在的當務之急是確保在“監(jiān)管”下不再“下滑”，避免到初二積重難返，出現(xiàn)不服“監(jiān)管”的情況，期望他們，長大一歲、升一個年級，混沌漸開，會有突然的改變，他們的上進心一旦被喚醒、被點燃，成績可能會出現(xiàn)突飛猛進的可喜景象!中考的圖是準的，先寫了“如圖，······”然后再給題干的題目叫你求角度不會就果斷拿出量角器，30°、45°、60°這類簡單的度數(shù)出到就是賺到。

　　在素常和家長的交流中，深感為人父母、培養(yǎng)孩子成才的不易，也發(fā)現(xiàn)學生在不同的年齡階段、不同的發(fā)展狀況下，確有著“因人施教”的問題，如上是本人在輔導學生中的一些體會和建議，寫出來與大家共享，為更多的孩子能順利成長，歡迎大家關注、交流。

數(shù)學學習有的人感覺很枯燥，不停的計算，背公式，其實數(shù)學是一個很有趣味的學科。則再把它當作結論，進一步研究它成立的充分條件，直至達到已知條件為止，從而使命題得到證明。大多數(shù)人感到枯燥單純?yōu)榱俗鲱}而做題，很少人去動腦筋找出多種解題的思路，這就造成了這種現(xiàn)象，做過的題會做，沒做過的肯定錯。所以初中數(shù)學輔導給大家介紹幾種常用的解題妙招!希望能夠幫助到大家!

重慶勤思教育初中數(shù)學輔導

因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數(shù)學的一個有力工具、一種數(shù)學方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。

因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。

其中，用的多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

換元法

在解數(shù)學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設條件列出關于待定系數(shù)的等式，后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關系，從而解答數(shù)學問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。尤其是像公式、概念、運算法則等基礎知識，往往是容易被人們忽視的板塊，恰恰想要學好小學數(shù)學這些基礎知識是必須掌握的，這些內(nèi)容是需要孩子們加以記憶然后再加以運用的。它是中學數(shù)學中常用的方法之一。

換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

一元二次方程ax2 bx c=0(a、b、c屬于R，a≠0，這里的2表示x的平方)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。一般來說找周期的題目出現(xiàn)在中考都不會特別難，關鍵是你有沒有耐心把一個周期找出來。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

構造法

運用構造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互相滲透，有利于問題的解決。

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構造法。

反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。

反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設;(2)歸謬;(3)結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n一1)個;至多有一個/至少有兩個;/至少有兩個。思維數(shù)學包含了發(fā)散思維、收斂思維、換元思維、反向思維、逆向思維、邏輯思維、空間思維、立體思維等二十幾種思維方式。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結果。構造法運用構造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互相滲透，有利于問題的解決。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數(shù)量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

以上這些方法大家在做數(shù)學難題是可以運用起來，具體怎么運用，還是要靠學生們多做題，多思考；同時每次做完題的時候建議大家將同類型的題整理在一起復習，這樣可以避免只會做熟悉的題這一問題

1、關于我在講求坐標和面積周長時介紹的五種結論，實際上還有另外一個：點到直線的距離公式，它是一個非常標準的高中解析幾何知識，用初中的函數(shù)語言可以表述為：

其中“d”表示點 到直線 的距離。

也就是說現(xiàn)在只要已知一個點的坐標和一條直線的解析式就能夠直接求出點到直線的距離。傳統(tǒng)的做法是：過已知點引垂線，用 求出垂線的k值，進而用已知點的坐標求出垂線的解析式，進而求出兩條直線的交點，再用兩點間距離公式求出點到直線的距離。

相比之下傳統(tǒng)的辦法慢多了不是嗎？但是我之前為什么不介紹這個方法呢？主要是因為考題基本不會這么問了，用到了這個公式也很可能不是解。到目前為止我就僅僅遇見過一次能用這個公式的中考題（某地市的填空題，好像同時考到了直線與圓的相切和路徑）。

簡單來說這個公式可記可不記，并不是說沒有這個公式就絕做不出題來，只是快不快的問題。

2、很多時候我們用兩點間距離公式前都會設一個未知數(shù)，把未知數(shù)帶入函數(shù)解析式中，得出在函數(shù)圖象上的動點的坐標，再帶入公式。但通常我們不會選擇對拋物線上的動點用兩點間距離公式，因為這樣的結果通常是以x作為主元，出現(xiàn)了四次方程。不過，在有些情況下，我們可以通過消元來實現(xiàn)降次。這種分類思考的方法，是一種重要的數(shù)學思想方法，同時也是一種重要的解題策略。具體做法是把x用y表示出來。我們先來看一個例子：（2017·天津中考后一題后一問，有刪改）已知點P 為過點A（-1,0）的拋物線 上的一個動點，P關于原點的對稱點為P',當點P'落在第二象限內(nèi)， 取得小值時，求m的值。參考給出的做法是這樣的：（圖片來源于網(wǎng)絡）

實際上這個做法就是兩點間距離公式的一種替代。如果我們直接用兩點間距離公式的話就會出現(xiàn)關于m的四次方程。但是這一題的解法巧就巧在第六步。我們不把t用m表示出來，而是直接帶入得到 ，

又由

就這樣神奇地把m消掉了[ ]

把原本關于m的四次函數(shù)降成了一個關于t的二次函數(shù)，之后就是正常做法了。

當時我們數(shù)學老師給出的評價是：不難。的確，這一題的思路意外的直接，和近幾年某些地區(qū)大量堆砌數(shù)據(jù)的中考題還是很有區(qū)別的，它還是比較考察考生思維的廣度的，就是在得出一個看起來有點異樣的解析式后能不能反回去檢查出數(shù)據(jù)的特殊之處。這個有點像特殊值法，看到幾何動點叫你求面積周長問題先自己用鉛筆在試卷上畫畫有多少種情況，感覺差不多了就可以開始取特殊位置了，中點、端點、怎么好算怎么取，符合題設就行。這道題也啟示著我們以后在得出四次方程后得留個心眼，別立馬掉頭換思路。

3、提到了第二點我順便說說有關代數(shù)的一些東西。

初中代數(shù)重要的知識點大概只有這幾個：因式分解、一元二次方程（包括判別式及其應用和韋達定理及其應用）、不等式[包括一元一次不等式（組）、一元二次不等式]、代數(shù)式的運算法則（包括整式、分式和二次根式）。其中代數(shù)式的運算法則是對要掌握的（不然三年白學了）。配方法所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。接下來講講剩下的幾個。

首先是因式分解。寫在前面：一定要復習好因式分解，注意是“好”。因式分解是接下來三年高中數(shù)學的基礎。因式分解不熟練的話接下來絕要吃不少苦。在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構造法。然而現(xiàn)在的初中新課標對因式分解的要求非常低。僅有的提公因式法和兩個簡單的公式夠。這里額外補充幾種常見的方法：

①對于二次三項式的十字相乘法。這個方法在課本的閱讀與思考里花了一面的篇幅介紹過，很多考生也能夠掌握二次項系數(shù)為1時的十字相乘,具體的方法我就不細說了。這里要補充的是：原式的二次項系數(shù)要是正數(shù)，不是的話把負號提出來再十字相乘；十字相乘法同樣可以用于含字母系數(shù)的因式分解，比如說代數(shù)式 就可以用十字相乘法分解為 （當然這還沒有分解完全，因式分解的終結果只能保留小括號）。這種思維過程通常稱為“執(zhí)果尋因”8、綜合法：在研究或證明命題時，如果推理的方向是從已知條件開始，逐步推導得到結論，這種思維過程通常稱為“由因導果”9、演繹法：由一般到特殊的推理方法。中考的話通常只會考二次項系數(shù)為1時的情況。

②對于四項或四項以上多項式的分組分解法。多于四項的多項式基本要用分組分解。不過這種方法中考基本（幾乎從來）沒考過，所以就不細說了。

③配方法。這個方法在課本上倒是出現(xiàn)的次數(shù)很多，講一元二次方程的解法時專門提到過，二次函數(shù)的頂點坐標公式也是用這個方法推導出來的。不過因式分解的配方法其實更類似于頂點坐標公式的推導，畢竟代數(shù)式不存在移項這種操作。

由于不能像方程那樣移項。所以用配方法分解因式其實有點像中國古代數(shù)學的“出入相補法”。它的一般步驟是：先用提公因式法把二次項系數(shù)化為一，然后根據(jù)一次項系數(shù)添加相應常數(shù)項，再添加一個與其異號的常數(shù)項，這樣能使代數(shù)式在數(shù)值上是不變的，后就能得到一個完全平方式（簡單理解就是能夠配成完全平方的代數(shù)式，如 就屬于完全平方式）。孩子和這樣的老師相處起來會感到輕松，而且對培養(yǎng)孩子的性格會有好處。配方后通常還沒分解完全，可以繼續(xù)分下去（很多時候你會驚奇地發(fā)現(xiàn)可以用配方法分解的式子同樣可以用十字相乘法，而且還比配方法更快）。

關于配方法，這里有兩個重要的結論：1、構成完全平方式的常數(shù)項等于其一次項系數(shù)一半的平方。2、任意一個非負數(shù)x可以看成是 ，由此可以引出關于二次根式的因式分解。別看這兩個結論簡單，有些比較復雜的分解就用的上。

我補充這幾個因式分解的方法，僅僅是希望能起到拋磚引玉的作用。重要的還是要真切地體會到因式分解背后體現(xiàn)的恒等變形思想，并在解決參量問題時多運用這種思想。

關于中考，配方和十字相乘要在中考出現(xiàn)是完全有可能的（事實上題經(jīng)常會用到）。

再來講講一元二次方程。判別式的應用我在正文部分其實已經(jīng)提到過了，這里不多說了，就講講韋達定理吧。3、淘汰法：把題目所給的四個結論逐一代回原題的題干中進行驗證，把錯誤的淘汰掉，直至找到正確的答案。韋達定理在新人教版里被叫作根與系數(shù)的關系，和三元一次方程組一樣屬于選學內(nèi)容（千萬不能信所謂的選學內(nèi)容，初中選學，高中必學）。韋達定理的內(nèi)容用現(xiàn)在的代數(shù)語言表示就是：

這一偉大的韋達定理僅有兩個式子，卻能夠變換出無數(shù)的問題，特別是由此引出的各類代數(shù)證明題。海量資料：歷年知識點、考試技巧秘籍和重點學?？荚囋嚲砗蛢?nèi)部資料。不過這幾年很多地區(qū)的中考已經(jīng)不再單獨出一大題考代數(shù)證明了，如果考到了證明題很多時候就是考韋達定理和判別式的簡單應用，這里有兩個關于韋達定理基本的恒等變形式：

保持對式子各個成分的敏感性就行，中考里面考到了一般不會考得太難。

后提一下不等式。課本上要求掌握的是基本的一元一次不等式（組），實際上很多地區(qū)的中考題經(jīng)常出現(xiàn)以二次函數(shù)為背景的一元二次不等式。所以說一元二次不等式的解法還是得了解一下的。

一元二次不等式的一般形式是： 0（ane 0）" eeimg="1"> 當然不等號的形式有多種。

解一元二次不等式有這兩種常用的辦法：

①因式分解法（可以解決很大一部分）。

就是先把不等號左邊的式子因式分解成兩個多項式的乘積（十字相乘或平方差公式等）。

然后根據(jù)這個結論：兩個乘積為正的式子同號（兩式同為正或兩式同為負）；兩個乘積為負的式子異號（一正一負或一負一正）。將該一元二次不等式等價為兩個我們熟悉的一元一次不等式組，（原則是有等號取等號，比如說二次不等式里不等號用 ，那么等價后的一次不等式組中不等號也用 或 ）。有時候解到后其中有一個不等式組是無解的。(1)市面上很多書籍，但你不禁可以發(fā)現(xiàn)，近乎雷同的版本很多，有些書上錯誤百出，時下這個局面，所以你得多買幾本書，對照著看，取長補短。后來個綜上所述就可以得出解集了。(不好意思實在找不到圖，自己寫的例子湊合一下)②數(shù)形結合法（通法）

有些時候不等式?jīng)]有辦法因式分解，那么就需要用到數(shù)形結合法了。方法如下：

先將不等式化為一般形式，然后根據(jù)該不等式寫出對應的二次函數(shù)，并在平面直角坐標系中（可以只畫一條x軸）畫出該拋物線，我們解不等式需要關注這個拋物線的兩個方面：是拋物線與x軸的交點（也就是該拋物線對應的一元二次方程的實數(shù)根），由于是不等式對應的拋物線，所以這個拋物線要么與x軸沒有交點（即原不等式無解），要么拋物線與x軸有兩個交點。第二是a的符號（正或負），a的符號決定了拋物線的開口方向，也就決定了不等式的解集是閉還是開的。二、語言敘述規(guī)范語言（包括數(shù)學語言）敘述是表達解題程式的過程，是數(shù)學解題的重要環(huán)節(jié)。熟練了以后圖都不用畫了，直接解對應方程，然后根據(jù)a的符號寫解集。

很多中考題也喜歡這樣考一元二次不等式，但是這個不等式被放在了二次函數(shù)的背景下，難度就減小了許多。一元二次不等式的解法是高中的知識，它在高中的個學期就會學到。我們在了解一元二次不等式的解法的基礎上，更應該體會數(shù)形結合的數(shù)學思想。